量化（Quant）交易员 gemchange_ltd 在 X 上发布了一篇长文，列出他“如果重来一次，会按什么顺序学习”的完整路线图，从概率论到随机微积分，五个数学关卡，18 个月就能从什么都不会到真正入门量化交易。本文源自他在 X 上发布的热门文章《How I’d Become a Quant If I Had to Start Over Tomorrow》，由翻书 Flip 编译和重新整理。
（前情提要：不靠佣金、不晒单，一名交易员只凭分析周期的常胜策略）
（背景补充：顶级加密女交易员万字生存笔记：别被“速成致富”毁掉）

本文目录

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• Part I：概率论，不确定性的语言
• Part II：统计学——学会聆听数据
• Part III：线性代数——驱动一切的机器
• Part IV：微积分与优化——变化的语言
• Part V：随机微积分——真正的 Quant 门槛
• Polymarket
  • LMSR 如何为信念定价
• 量化交易职业版图：四种原型
• 工具箱与书单
• 三件作者希望自己早点知道的事

编译声明：本文不构成投资建议，市场有风险，请做好自己的研究。

先说几个数字：2025 年，顶尖机构的应届 Quant 年薪总包在 30 万至 50 万美元之间。金融业 AI/ML 招聘年增 88%。这条路，有没有地图？

这篇文章，是作者希望自己起步时有人能递给他的东西。学习路线按照“你应该学的顺序”排好了，每个概念都建立在前一个之上，就像电玩游戏一样，你没办法跳关。但如果你真的认真做，不是去 YouTube 上看什么无聊的金融入门影片（那只是浪费时间），而是真解题、动手做——大概 18 个月，你就能从什么都不懂，变成真的懂一些东西。

把所有你以为知道的交易知识先放旁边。大多数人以为量化交易是在选股、对特斯拉有看法、预测财报。其实不是。Quant 交易是数学。你做的是统计关系、定价低效率，以及那些“市场是被会犯系统性错误的人在跑的复杂系统”这个事实所带来的结构性优势。

Part I：概率论，不确定性的语言

量化金融的每件事，最后都可以简化成一个问题：胜率多少？胜率站在我这边吗？

这就是概率。如果你对概率没有深刻的理解，这篇文章后面的东西对你来说都没有意义。

条件概率：Quant 的思考方式
一般人用绝对值思考：这件事是真的还是假的。Quant 用条件思考：根据我现在知道的，这件事有多大的概率？

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)——给定 B 发生，A 的概率等于两者同时发生的概率除以 B 的概率。听起来简单，但影响很深远。一支股票有 60% 的天数是上涨的——这是基础概率。但在成交量高于平均的日子，上涨概率是 75%。这个条件概率才是有意义的信息；原本那个 60% 反而充满杂讯。

贝叶斯定理：即时更新你的判断

后验 = （在假说成立的情况下，看到这笔资料的概率）× 先验 ÷ （在任何假说下，看到这笔资料的总概率）。在实作中，你用蒙特卡洛采样来计算。逻辑是一样的：贝叶斯是你在面对新信息时即时调整判断的方式。模型说一支股票应该值 50 美元，财报出来，营收比预期高 3%——贝叶斯后验向上移动。更新最快、更新最准的人，赢得报酬。

期望值与方差：你最好的两个朋友

期望值是你的信念强度；方差是你的风险。如果你的策略有正期望值，而且你能撑过方差带来的震荡，你很可能会赚钱。

Level 1 作业（每天 2 小时，3-4 周）

• 读：Blitzstein & Hwang，《Introduction to Probability》（哈佛免费 PDF），把第 1-6 章每道题目都做一遍

• 写程序：模拟 10,000 次抛硬币，用可视化验证大数定律

• 写程序：自己实现一个贝叶斯更新器，输入先验和似然，输出后验

  import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

  大数定律：执行平均收敛到真实概率

  np.random.seed(42) flips = np.random.choice([0, 1], size=10000, p=[0.5, 0.5]) running_avg = np.cumsum(flips) / np.arange(1, 10001)

  plt.figure(figsize=(10, 4)) plt.plot(running_avg, linewidth=0.7) plt.axhline(y=0.5, color=‘r’, linestyle=‘–’, label=‘真实概率’) plt.xlabel(‘抛掷次数’) plt.ylabel(‘执行平均’) plt.title(‘大数定律实际演示’) plt.legend() plt.savefig(‘lln.png’, dpi=150) print(f"10,000 次后: {running_avg[-1]:.4f}（真实: 0.5000）")

Part II：统计学——学会聆听数据

学会说概率这个语言之后，你要学的是从数据中听出什么。统计学教给你的第一课是：大多数看起来有意义的发现，其实只是杂讯。

假说检验：你的滤杂讯侦测器
你建了一个模型，回测年化报酬率 15%。这是真的吗？设立虚无假说 H₀：「这个策略的期望报酬是零」，计算检验统计量，算出 p 值。但注意：如果你测试 1,000 个随机策略，纯靠运气，就有 50 个 p 值会低于 0.05。这是多重比较问题。解法是 Bonferroni 修正（显著水准除以测试次数），或 Benjamini-Hochberg 控制伪发现率。每个初学者都大幅高估自己找到了什么有意义的东西。你前 10 个策略全部都是杂讯。现在就接受这件事，帮自己省很多钱。

回归分析：拆解报酬

线性回归 y=Xβ+ε 是金融业的主力工具。你把策略报酬对已知的风险因子做回归，截距 α 就是你的超额报酬——那个无法被已知因子解释的部分。

如果在控制各因子后 α 为零，你所谓的“优势”只是伪装过的市场暴露。要用 Newey-West 标准误，因为金融数据有自相关和异质变异，用普通最小平方法的标准误，就像开着裂掉的挡风玻璃在高速公路上行驶。

最大似然估计（MLE）

这是金融业校正每个模型的方法，不管是拟合 GARCH 波动率模型、估计跳跃扩散参数，还是把期权定价校正到市场报价。当有人说“校准”一个模型，几乎都是在说 MLE。

Level 2 作业（4-5 周）

• 读：Wasserman，《All of Statistics》，第 1-13 章
• 下载真实股票报酬（yfinance），测试正态性（一定会失败），用 MLE 拟合 t 分布，比对结果
• 用 statsmodels 对股票组合跑 Fama-French 三因子回归
• 实作排列检验：把日期打乱 10,000 次，把打乱后的绩效和真实绩效比较

Part III：线性代数——驱动一切的机器

线性代数听起来很无聊，但它是驱动一切的机器：投资组合建构、主成分分析、神经网络、协方差估计、因子模型。不会矩阵，就做不了 Quant。

矩阵思维
协方差矩阵 Σ 捕捉了每一个资产相对于其他每个资产的移动方式。对于 500 支股票，Σ 是 500×500 的矩阵，有 125,250 个独特的值。组合变异数可以简化成一个表达式：w’Σw，这个二次型是 Markowitz 投资组合理论、风险管理、所有东西的核心。

特征值：真正重要的东西
看 500 支股票的宇宙，前 5 个特征向量解释了 70% 的总变异。其他的都是杂讯。第一次用特征值分解，世界就变了：这是降维，也是因子投资的基础。

Level 3 作业（4-6 周）

• 看：Gilbert Strang 的 MIT 18.06 线性代数课程，全部，不能跳过

• 读：Strang，《Introduction to Linear Algebra》，把题目做完

• 对 S&P 500 报酬做 PCA，画特征值频谱，找出前三个主成分

• 从头实现 Markowitz 均值方差优化

  import numpy as np import cvxpy as cp

  np.random.seed(42) n_assets = 10 mu = np.random.uniform(0.04, 0.15, n_assets) A = np.random.randn(n_assets, n_assets) * 0.1 cov = A @ A.T + np.eye(n_assets) * 0.01

  w = cp.Variable(n_assets) objective = cp.Minimize(cp.quad_form(w, cov)) constraints = [ mu @ w >= 0.08, # 最低报酬要求 cp.sum(w) == 1, # 全部投入 w >= -0.1, # 最多 10% 放空 w <= 0.3 # 最多 30% 做多 ]

  prob = cp.Problem(objective, constraints) prob.solve()

  ret = mu @ w.value vol = np.sqrt(w.value @ cov @ w.value) sharpe = (ret - 0.03) / vol

  print(f"组合报酬: {ret:.4f}“) print(f"组合波动: {vol:.4f}”) print(f"夏普比率: {sharpe:.4f}")

Part IV：微积分与优化——变化的语言

微积分是描述变化的语言。在金融里，什么都在变：价格、波动率、相关性，整个概率分布每秒都在移动。微积分描述并利用这些变化。导数出现在每个神经网络的反向传播和每个期权希腊字母计算中。

泰勒展开式是 Delta 避险的一阶近似，Gamma 避险加入二阶修正。Itô 微积分和普通微积分不同，正是因为随机过程的二阶泰勒项不会消失。

Level 4 作业（4-5 周）

• 读：Boyd & Vandenberghe，《凸优化》（史丹佛免费 PDF），第 1-5 章
• 从头实现梯度下降，最小化 Rosenbrock 函数
• 用 cvxpy 解一个含交易成本约束的投资组合优化问题

Part V：随机微积分——真正的 Quant 门槛

学随机微积分之前，你只是个喜欢金融的数据科学家。学完之后，你才算是 Quant。这是你学会在连续时间里建模随机性、从第一原理推导 Black-Scholes 方程式，以及理解为什么上兆美元的衍生品市场是这样运作的地方。

布朗运动：将随机性形式化

布朗运动（维纳过程）W_t 是连续时间的随机漫步。最关键的洞察——后面一切都依赖于此——是 dW_t 的“大小”是 √dt，意思是 (dW_t)² = dt。听起来像技术细节，但这是量化金融里最重要的一个事实。

Itô 引理

在普通微积分里，你做泰勒展开，(dx)² 小到可以省略。但当 x 是随机过程，(dW_t)² = dt 是一阶项，你省略不了。Itô 引理：df = (∂f/∂t + μ∂f/∂x + ½σ²∂²f/∂x²)dt + σ∂f/∂x dW_t。把这个应用到期权价格，你就得到了 Black-Scholes。

从头推导 Black-Scholes
Step 1：设 V(S,t) 是期权价格，对其用 Itô 引理。

Step 2：建立 Delta 避险投资组合 Π = V − (∂V/∂S)·S，计算 dΠ——dW_t 项完美消掉，这个组合在局部是无风险的。

Step 3：无风险投资组合必须以无风险利率增值。

Step 4：代入整理，得到 Black-Scholes 偏微分方程式。

注意发生了什么事：漂移率 μ 消失了。期权的价格跟股票的预期报酬无关，跟风险偏好也无关。你可以把每个人都当成风险中性来为期权定价。第一次真正理解这件事，真的会让人脑袋打结。

对于一个履约价为 K、到期日为 T 的欧式买权，解这个偏微分方程（PDE）可以得到：

where d_1=

d_2=

希腊字母

• Delta Δ：每 1 美元股价移动，期权移动多少，也就是你的避险比率

• Gamma Γ：Delta 变化的速度，你的凸性暴露

• Theta Θ：时间价值损耗，长仓通常是负值

• Vega V：对波动率的敏感度，大多数衍生品的钱在这里赚

• Rho ρ：对利率的敏感度

  import numpy as np from scipy.stats import norm

  def black_scholes(S, K, T, r, sigma, option_type=‘call’): d1 = (np.log(S/K) + (r + sigma**2/2)T) / (sigmanp.sqrt(T)) d2 = d1 - sigmanp.sqrt(T) if option_type == ‘call’: return Snorm.cdf(d1) - Knp.exp(-rT)norm.cdf(d2) else: return Knp.exp(-r*T)norm.cdf(-d2) - Snorm.cdf(-d1)

  def monte_carlo_option(S0, K, T, r, sigma, n_sims=500_000): Z = np.random.standard_normal(n_sims) ST = S0 * np.exp((r - sigma**2/2)T + sigmanp.sqrt(T)Z) payoffs = np.maximum(ST - K, 0) price = np.exp(-rT) * np.mean(payoffs) stderr = np.exp(-r*T) * np.std(payoffs) / np.sqrt(n_sims) return price, stderr

  S, K, T, r, sigma = 100, 105, 1.0, 0.05, 0.2 bs = black_scholes(S, K, T, r, sigma) mc, err = monte_carlo_option(S, K, T, r, sigma) print(f"Black-Scholes: ${bs:.4f}“) print(f"Monte Carlo: ${mc:.4f} ± {err:.4f}”)

Level 5 作业（6-8 周，最难的一关）

• 读：Shreve，《Stochastic Calculus for Finance II》，金标标准
• 替代选项：Arguin，《A First Course in Stochastic Calculus》，新一点，更容易入门
• 自己推导：对 f(S) = ln(S) 用 Itô 引理，推出那个 -σ²/2
• 自己推导：完整的 Black-Scholes 方程式，从 Delta 避险论证开始
• 写程序：从头实现 Black-Scholes，和蒙特卡洛比较，验证收敛

Polymarket

这是目前世界上最有趣的市场，而其背后的数学把本文中的所有主题连接在一起：
概率（probability）、信息理论（information theory）、凸优化（convex optimization）、整数规划（integer programming）。

LMSR 如何为信念定价

对数市场评分规则（Logarithmic Market Scoring Rule，LMSR）
由 Robin Hanson 发明，用于驱动自动化的预测市场。

对于 n 个结果（outcomes），其成本函数为：

其中：

• q_i 表示 结果 i 已经发行的未平仓份额（outstanding shares）

• b 是 流动性参数（liquidity parameter）

结果 i 的价格为：

这其实就是 softmax 函数 ——
也就是 所有神经网络分类器（neural network classifiers）背后使用的函数。

其性质包括：

• 所有价格 加总永远等于 1

• 所有价格 永远落在 (0,1) 之间

• 市场 始终存在价格，等同于提供无限流动性

而 做市商（market maker）的最大损失
被限制在：b×ln(n)
（b×ln(n)）

量化交易职业版图：四种原型

Quant Researcher（QR）：在 PB 级数据里找规律，建预测模型，设计策略，需要博士级数学/统计/机器学习，或是大学阶段就特别突出的。在 Jane Street 这类机构，QR 手边有几万张 GPU。

Quant Developer/Engineer（QD）：负责建造，交易平台、执行引擎、实时数据管道，让研究员的模型真的能跑起来交易。需要生产级别的 C++/Rust/Python 和低延迟系统。

Quant Trader（QT）：决策者，管理资本、控制风险、做即时判断。薪资变异最大，顶尖年份可以到八位数。

Risk Quant：守门人，模型验证、VaR、压力测试、法规遵循，职业路径比较稳定，但天花板较低。新兴的 AI/ML Quant 角色（用深度学习产生信号）是成长最快的方向，2025 年招聘年增 88%。

薪资行情如下（美国顶尖机构，Jane Street、Citadel、HRT）：

• 应届毕业生：$30 万至 $50 万+总包
• 中阶（3-7 年）：$55 万至 $95 万
• 资深（8 年+）：$100 万至 $300 万+
• 明星交易员/PM：$300 万至 $3000 万+

中型机构（Two Sigma、DE Shaw）应届毕业生约 $25 万至 $35 万总包。Jane Street 的员工平均薪酬在 2025 上半年达到每年 140 万美元，这个是平均值。

面试流程：简历筛选 → 在线测试（心算用 Zetamac，目标 50 分以上，逻辑题）→ 电话面试（概率问题、赌博游戏）→ Superday（3-5 轮连续面试，模拟交易、代码、白板推导）。Jane Street 故意出难题自己解不完的题，考的是你怎么利用提示和跟人协作。他们近期实习生班超过三分之二读信息工程，三分之一读数学，金融知识通常不要求。

面试准备首推 Xinfeng Zhou 的《Green Book》（量化金融面试实战指南，200 道以上真实题目），搭配 QuantGuide.io（量化版 LeetCode）和 Brainstellar 练习。

工具箱与书单

Python 技术栈：数据处理用 pandas/polars（Polars 在大型数据集上快 10-50 倍），数值计算用 numpy/scipy，表格型机器学习用 xgboost/lightgbm，深度学习用 pytorch，优化用 cvxpy，衍生品用 QuantLib，统计用 statsmodels，回测用 NautilusTrader 或 vectorbt。

免费数据来源：yfinance、Finnhub（每分钟 60 次请求）、Alpha Vantage。中阶用 Polygon.io（每月 $199，延迟低于 20ms）。企业级是 Bloomberg Terminal（每年约 $32,000）。

书单（按顺序）

• 数学基础：Blitzstein & Hwang《概率论》→ Strang《线性代数》→ Wasserman《All of Statistics》→ Boyd & Vandenberghe《凸优化》→ Shreve《随机微积分 I & II》
• 量化金融：Hull《期权、期货与其他衍生品》→ Natenberg《期权波动率与定价》→ López de Prado《金融机器学习进阶》→ Ernest Chan《量化交易》→ Zuckerman《解开市场谜题的人》
• 面试：Zhou《Green Book》→ Crack《Heard on the Street》→ Joshi《Quant 面试题》
• 竞赛：Jane Street Kaggle（10 万美元奖金）、WorldQuant BRAIN（超过 10 万用户，付钱买 alpha 信号）、Citadel Datathon（快速通道到正职）

三件作者希望自己早点知道的事

**估计误差才是真正的敌人。**Full Kelly 下注、无约束 Markowitz、特征数量太多的机器学习模型——失败的原因都一样：过度拟合参数估计中的杂讯。数学在真实参数下完美运作。你从来没有真实参数。理论和实践之间的差距，永远都是估计误差，最好的 Quant 是那些真正尊重这件事的人。

**工具已经民主化，但判断力没有。**任何人都能取得 QuantLib、Polygon.io 和 PyTorch。技术是必要条件，但不是充分条件。优势存在于独特的数据、独特的模型，或是独特的执行能力，不在于更好的 pip install。

**数学是护城河。**AI 可以写代码、提策略。但能够推导出为什么 Itô 引理有那个多出来的项、能够证明在风险中性测度下折现价格是鞅、能够知道在组合套利问题中凸松弛是紧的还是松的——这种数学流畅度，才是区分“建立优势的 Quant”和“借用别人优势的 Quant”的东西。借来的优势有到期日。